조화 평균과 평균 속도 또는 평균 속력 (feat. 가중 산술 평균)

안녕하세요. 이번 포스팅도 정말 오랜만입니다. 다들 건강하고 행복하시면 좋겠습니다.

 

오늘은 조화 평균과 평균 속도 또는 평균 속력에 대해서 고찰해보는 시간을 가져 보겠습니다. 이를 구하는 문제는 중등 과정에서부터 등장했던 거로 기억을 하는데, 대부분 주입식 교육에 희생 당해 고등 과정으로 넘어가도, 왜 그렇게 구하는지도 모르고 넘어가게 될 겁니다. 오늘 이 포스팅에서 자세히 알아가셨으면 정말 좋겠습니다.

그리고 이 포스팅에서는 방향을 구별하지 않고, 그 크기만을 계산하기 위해 평균 속력(average speed)이란 표현을 사용하겠습니다.

 

일단은 다음과 같이 전체 구간의 거리가 \(s\)인데 \(a\)와 \(b\) 각각 두 구간으로 나누어 \(s_a + s_b = s\)인 경우를 생각해보죠.

 

Fig. 1. 각 구간의 거리, 속력 및 시간

 

\(s_a\)와 \(s_b\)로 나눈 이유는 각 해당 구간에서 움직이는 속력이 각각 \(v_a\), \(v_b\)로 다르기 때문입니다. 그리고 이로 인해 각 소요 시간도 각각 \(\Delta t_a\), \(\Delta t_b\)로 달라집니다.

 

현재 우리가 구하고 싶은 것은 평균 속력(average speed)입니다.

 

전체 구간 \(s\)를 완주하는데 걸린 시간을 \(\Delta t\)라 한다면, 평균 속력 \(v_{avg} = v\)은 다음과 같습니다.

 

\[ v = \frac{s}{\Delta t} \]

 

즉, 평균 속력을 구하기 위해서는 전체 구간의 총 거리인 \(s\)와 총 소요된 시간인 \(\Delta t\)를 알면 됩니다. 그리고 \(\Delta t\)는 구간 \(a\)에서 소요된 시간인 \(\Delta t_a\)와 구간 \(b\)에서 소요된 시간인 \(\Delta t_b\)를 합한 것이 됩니다. 또한 \(\Delta t\)는 정의에 의해 전체 구간 \(s\)를 우리가 결과적으로 구할 평균 속력 \(v\)로 나눠준 값입니다.

 

\[ \begin{align} \Delta t &= \Delta t_a + \Delta t_b \\ \\ &= \frac{s_a}{v_a} + \frac{s_b}{v_b} = \frac{s}{v} \end{align} \]

 

이제 저는 위 관계식들을 재배열해서 \(\frac{1}{v}\)와 \(\Delta t\)를 다시 표현해보겠습니다.

 

\[ \begin{align} \frac{1}{v} &= \frac{1}{s} (\frac{s_a}{v_a} + \frac{s_b}{v_b}) \\ \\ &= (\frac{s_a}{s}) \frac{1}{v_a} + (\frac{s_b}{s}) \frac{1}{v_b} \end{align} \]

 

\[ \begin{align} \Delta t &= \frac{s}{v} \\ \\ &= (\frac{s_a}{s}) \frac{s}{v_a} + (\frac{s_b}{s}) \frac{s}{v_b} \end{align} \]

 

뭔가 더 일부러 복잡하게 식을 만들고, 지저분하게 정리한 것 같지만 여기서 더 나아가 보겠습니다. 위 수식들의 마지막 표현을 보시게 되면, \((\frac{s_a}{s})\)와 \((\frac{s_b}{s})\)가 있습니다. 저는 이것을 각각 \(s_a\), \(s_b\)에 대한 가중치(weight)로 정의하겠습니다. 혹시 가중치에 대해 생소하신 분들을 위해 간단하게만 그 개념을 이번 주제와 관련지어서 설명해드리겠습니다. 일반적인 경우, 각 구간의 거리에 대한 가중치는 아래와 같이 정의됩니다.

 

\[ w_i = \frac{s_i}{\sum\limits_i^n s_i} = \frac{s_i}{s} \]

 

예를 들어, 전체 구간이 100 m인데 우리가 현재 묘사하고 있는 상황처럼 두 구간으로 나눠 생각을 해보겠습니다. 두 구간이 각각 50 m, 50 m인 경우에 각 구간에 대한 가중치는 \(\frac{1}{2}\)로 같을 것이고, 구간이 각각 30 m, 70 m인 경우에 가중치는 각각 \(\frac{3}{10}\), \(\frac{7}{10}\)이 될 것입니다. 두 구간이 아닌 10 m, 40 m, 50 m처럼 세 구간으로 나누게 되면 가중치는 각각 \(\frac{1}{10}\), \(\frac{4}{10}\), \(\frac{5}{10}\)가 됩니다. 일부러 약분은 하지 않았습니다.

 

그리고 어떠한 경우에서든 각 가중치를 모두 더하면 1입니다.

 

\[ \sum_i^n w_i = \sum_i^n \frac{s_i}{\sum\limits_i^n s_i} = \frac{\sum\limits_i^n s_i}{\sum\limits_i^n s_i} = 1 \]

 

한마디로 가중치란, 전체 중에 해당 부분이 차지하는 비율과 비슷한 개념입니다.

 

이제 위에서 정의한 가중치까지 포함해서 \(\Delta t\)의 일반적인 경우를 여러가지로 표현해볼까요? 참고로 제가 말씀드리는 일반적인 경우는 구간이 두개로 한정이 된 것이 아니라 매우 많은 것을 의미합니다.

 

\[ \begin{align} \Delta t &= \frac{s}{v} \\ \\ &= \sum_i^n \frac{s_i}{v_i} = \sum_i^n w_i \frac{s}{v_i} \end{align} \]

 

먼저 \(\Delta t\)만 살펴보도록 하겠습니다. \(\frac{s}{v_i}\)는 무엇을 의미하고 있나요?!

마치 전체 구간의 거리를 처음부터 끝까지 특정 구간의 속력으로 완주한 것처럼 간주하고 계산한 시간입니다. 그래서 다음과 같이 이러한 가상의 시간을 정의해서 수식에 도입하면 결코 도움은 되지 않지만, 뭔가 있어 보이게 간단히 표현이 가능합니다.

 

\[ \Delta T_i = \frac{\sum\limits_k^n s_k}{v_i} = \frac{s}{v_i} \]

 

\[ \Delta t = \sum_i^n w_i \frac{s}{v_i} = \sum_i^n w_i \Delta T_i \]

 

총 소요된 시간은 각 구간에서의 시간을 모두 더한 값으로 정의됐었고, 최종적으로 쓸 데 없이 복잡한 표현이기는 하나 전체 구간을 해당 속력으로 완주했을 때의 시간들의 (전체 구간에 대한 각 구간의 거리를 가중치로 고려한) 가중 산술 평균(weighted arithmetic average)이 됩니다. 너무 복잡하다면 괄호는 빼고 생각하셔도 좋습니다.

 

마지막으로 \(\frac{1}{v}\)를 살펴 볼까요?

 

\[ \begin{align} \frac{1}{v} &= \frac{\Delta t}{s} \\ \\ &= \frac{1}{s} \sum_i^n \frac{s_i}{v_i} = \sum_i^n w_i \frac{1}{v_i} \end{align} \]

 

평균 속력은 전체 구간의 거리를 총 소요된 시간으로 나눠준 값으로 정의됐었습니다. 그리고 최종적으로 정리된 표현을 살펴보면, 각 구간 속력의 역수들의 (전체 구간에 대한 각 구간의 거리를 가중치로 고려한) 가중 산술 평균의 역수가 평균 속력입니다. 역시 괄호는 빼고 생각하셔도 좋습니다. 다만, 속력은 참 애석하게도 역수를 취했다가 다시 역수를 취해서 계산하는 번거로움이 있다는 것만 짚고 넘어가시면 됩니다. 아래처럼요.

 

\[ \begin{align} v &= \frac{s}{\Delta t} \\ \\ &= \frac{1}{\sum\limits_i^n w_i \frac{1}{v_i}} \end{align} \]

 

그렇다면 이제부터 본격적(?)으로 왜 '평균 속력은 조화 평균'으로 구해야 해!!라고 많은 교과서들이 말을 했는지 알아보겠습니다. 죄송스럽게도 이제부터 정말 시작입니다.

 

다음과 같은 상황을 상상해보죠.

 

서울에서 편도 100 km의 거리를 왕복(총 200 km)하려고 합니다(대부분 내려갔다 올라온다라고 표현합니다).

 

Q1. 2 시간만에 돌아오기 위해서는 얼마의 속력으로 달려야 할까요?!

A1. 100 km/h

정답입니다! 간단하죠?!

그렇다면 다음 문제입니다.

 

Q2. 차가 막혀서 내려가는 길 내내 80 km/h의 속력으로 100 km 편도를 달렸습니다. 이제 다시 돌아가야 합니다. 서울에서 출발한 시간 기준으로 2 시간내로 복귀하기 위해서는 올라갈 때 얼마의 속력으로 달려야 할까요?!

A2. 음..평균 속력이 100 km/h가 되면 되니까 120 km/h?!

틀렸습니다!

 

너무 쉽게 생각하면 당연히도 120 km/h라고 생각을 할 것입니다. 한번 우리가 정리해놓은 공식을 이용해 직접 구해보죠.

 

총 소요될 시간이 2 시간 걸리게 하는 관점에서 계산을 한다면 아래부터 시작할 것이고,

 

\[ 2 \, \mathrm{h} = \frac{100 \, \mathrm{km}}{80 \, \mathrm{km/h}} + \frac{100 \, \mathrm{km}}{x} \]

 

평균 속력을 100 km/h로 만드는 관점이라면 아래부터 계산을 시작할 것입니다.

 

\[ \frac{1}{100 \, \mathrm{km/h}} = \frac{1}{2} \frac{1}{80 \, \mathrm{km/h}} + \frac{1}{2} \frac{1}{x} \]

 

둘 중에 무엇을 풀든 아래와 같은 결과를 얻게 될 것입니다.

 

\[ \therefore x \approx 133.3 \, \mathrm{km/h} \]

 

여담으로, 우리가 처음 주장한 120 km/h가 정답이기 위해서는 문제가 다음과 같이 바뀌기만 하면 됩니다.

 

'1 시간 동안 80 km/h의 속도로 달렸습니다. 남은 1 시간 내로 도착하기 위해서는 얼마의 속력으로 달려야 할까요?!'처럼요. 시간을 통제하고 나서는 빠르게 우리의 상식에 접근하게 되죠.

 

우리는 모두 비슷한 사고 방식을 하는 인간이란 동물인지라, 조금 더 직관적이고 더 자연스러운 풀이를 선호하는 경향이 있습니다. 소요된 시간으로 접근하는 첫번째 풀이가 조금 더 직관적이지요. 물론 양변에 몇몇 값들을 곱해주고 나눠주면 둘 다 똑같은 풀이는 맞습니다만, 아래처럼 풀려면 공식을 기억하고 있어야겠죠. 어떤 방법으로 접근하느냐에 대한 문제는 포스팅 마무리에서 다시 언급하도록 하겠습니다.

 

그리고 이제 수학에서 말하는 조화 평균(harmonic average)에 대해 알아볼까요?! 조화평균은 역수의 산술 평균의 역수로 정의됩니다. 아래처럼요.

 

\[ \begin{align} H &= \frac{n}{\sum\limits_i^n \frac{1}{a_i}} \end{align} \]

 

저는 분모, 분자를 \(n\)으로 나눠줌으로써 조금만 다르게 표현해보겠습니다.

 

\[ \begin{align} H &= \frac{1}{\sum\limits_i^n \frac{1}{n}\frac{1}{a_i}} \end{align} \]

 

무언가 보이시나요?! 네, 조화 평균이라는 것은 각 거리에 대한 가중치들이 모두 동등한(구간 개수만큼의 역수(\(1/n\))인) 평균 속력을 구하는 문제와 동일한 개념인 것입니다. 그리고 우리는 분명히 이전에 이와 비슷한 형태를 학창 시절에 본 기억이 있습니다. 바로 병렬로 연결된 저항들의 합성 저항 크기를 계산할 때입니다. 동일한 것은 아니고 비슷하다고 말씀을 드렸는데요. 궁극적인 차이는 말 그대로 우리는 '평균' 속력을 구하고 있고 '합성' 저항을 구하고 있기 때문입니다. 합성 저항에서는 저항 개수인 \(n\)과 관련된 가중치가 등장하지 않죠. 왜냐하면 사실 병렬 연결에서 평균 저항이란 것을 우리가 구해본 적은 없지만 평균 저항을 구한다면 저 조화 평균과 같은 형태일 것이고(직접 해보셔도 좋을 것 같습니다), 이때는 가중치가 저항 개수만큼의 역수일 것인데, 정의에 의해 평균 저항은 이를 다 더한 것, 즉, 다시 저항 개수만큼을 곱한 것이 합성 저항이기 때문입니다.

그런데 왜 이렇게 역수를 해서 더했다가 다시 역수를 취하는 형태의 계산이 등장하게 되는 것일까요?! 나중에 따로 다룰 마음만 먹고 있긴 한데, 간단히 짚고만 넘어간다면, 평균 속력이나 병렬로 연결된 저항의 합성 저항을 계산할 때 공통된 특징이 있습니다. 바로 분자 부분의 값들은 동일하고, 분모의 값만 바뀔 때의 상황이라는 것입니다.

이게 무슨 말이냐면, 속력은 거리를 시간으로 나누죠. 그런데 평균 속력이 조화 평균으로 구해지는 경우는 각 구간의 길이가 같은 채 도달하는 시간이 다른 상황인 것이고, 저항은 전압을 전류로 나눕니다. 그리고 합성 저항이 조화 평균의 방식과 비슷하게 구해지는 경우는 병렬로 연결되어있어 전압이 모두 같은 채 흐르는 전류의 크기가 다른 상황인 것이죠. 이렇게 두 상황 모두 분자에 해당하는 독립 변수만 변하는 경우인 것이죠. 일단 이렇게만 언급을 하고 넘어가겠습니다. 갈 길이 멉니다.

 

저는 사실 태어나서 펜을 잡고 난 후로, 조화 평균 공식을 외워서 사용해본 적은 10-가를 배울 때 말고는 없습니다. 산술, 기하, 조화 평균에 대해 설명하는 단원이 있었던 것으로 기억합니다. "특정 문제에는 특정 평균만 사용해야 해!"라며 외우라고 했었던 것 같은데.. 사실, 그 시절에 엄청 영특한 학생은 아니었어서 그냥 외웠습니다. 지금 와서 생각해보면, 많이 안타깝죠..ㅎㅎ 그냥 해당 주제에 관한 문제들을 만들어서 학생들에게 던져 놓고, 왜 특정 평균을 사용해야만 하는지 천천히 살필 시간만 줬으면 됐을 텐데 말이에요. 씁쓸합니다. 뭐..시간이 귀했던 고등학생이었을 테니까요. 또 얘기가 딴 곳으로 셌네요.

 

결론적으로 한마디로 정리하자면, 저 조화 평균을 사용하면, 평균 속력을 구할 수 있습니다. 단, 조건이 붙는다는 것을 유의해야 합니다. 조화 평균을 사용해 평균 속력을 구하기 위해서는 속력이 변하는 구간들의 길이가 모두 같아야 한다는 것입니다. 구간들의 길이가 모두 같아야만, 각 거리에 대한 가중치가 같아질 수 있겠죠. 즉, 만능의 공식이 아닙니다.

 

여기서 다시 문제를 내보겠습니다. 상황은 다음과 같습니다.

 

서울에서 100 km의 거리에 있는 천안을 찍고, 천안에서 80 km의 거리에 있는 대전을 가려고 합니다.

 

Q1. 딱 2 시간이 걸리게 대전에 도착하려면, 얼마의 속력으로 달려야 할까요?!

A1. 180 km를 2 시간으로 나누면, 90 km/h겠네요.

정답입니다! 간단하죠?!

그렇다면 다음 문제입니다.

 

Q2. 천안까지 100 km/h의 속력으로 달렸습니다. 2 시간을 맞추기 위해서는 대전까지 얼마의 속력으로 달려야 할까요?!

A2. 음..평균 속력이 90 km/h가 되면 되니까 조화 평균을 쓰면(시간이 꽤 걸리겠지만) 81.8 km/h?!

틀렸습니다!

 

네, 조화 평균을 여기서 쓰면 안됩니다. 그리고 무엇보다 엄청 쉬운 풀이가 있어요. 아까 말씀드렸다시피, 항상 우리는 소요 시간을 생각하는 게 이해가 더 쉽거든요.

방금 전 질문을 받았을 때, '천안까지 100 km 떨어져 있는데 100 km/h로 달렸으면 1 시간 동안 100 km를 갔을 테고, 남은 1시간 동안 80 km를 가면 되기 때문에 80km/h겠구나!'하고 생각을 하셔야 더 올바른 접근법이 되는 것입니다. 상황을 이해하지 못하고 공식만 써서는 안됩니다.

 

마찬가지로 더 먼저 묘사했던 '서울에서 왕복 200 km'의 Q2.를 다시 접근해볼까요?! '100 km를 80 km/h로 달렸으니 1.25 시간이 걸렸을 테고, 남은 0.75 시간 동안 100 km를 돌아가야 하니, \(100 \, \mathrm{km} / 0.75 \, \mathrm{h} \approx 133.3 \, \mathrm{km/h}\)겠구나!'하고 생각을 하면 더 쉬운 접근이 될 것입니다.

 

이제 몇가지 더 말씀드리고 싶은 부분을 정리하면서 포스팅을 마무리해보겠습니다.

 

왜 처음에 우리는 평균 속력 계산 문제에서 실수를 범했을까요?! 현재 운동을 하고 있는 물체의 속도 또는 속력은 어떻게 구해지는 물리량인가요?! 다른 물리량을 통해 계산 또는 도출되는 물리량이 맞나요?! 반사파의 시간에 따른 파장 변화(도플러 효과)를 고려하든 이동 거리를 소요 시간으로 나누든 시간과 공간에 크게 관련되어있는 것은 확실합니다. 그리고 시간은 모든 물체에서 1 분이 지나고 2 분이 지나면 총 3 분이 되는 것처럼 단순 가감이 가능한 물리량입니다. 이동 거리 또한 그 물체가 지나가기만 하면 되니 마찬가지고요. 즉, 속도 또는 속력이란 것은 운동하는 물체 입장에서 시간과 이동 거리라는 단순 가감 가능한 물리량을 기반으로 계산 또는 도출되는 물리량이기 때문에 이를 우선적으로 생각하지 않고 속도 및 속력만을 고려해서는 안된다는 것입니다.

뭔가 이상하게 자꾸 철학적으로 흘러가는 것 같습니다..;; 넘어가시지요!

 

그리고 왜 저는 가중치란 것을 억지로 끌어들여 평균 속력을 고려했을까요?!

두 구간 \(a\), \(b\)만 존재한다고 생각해보죠. 그리고 \(v_a > v_b\)인 상황입니다. 두 구간에서의 속력은 유지한 채로, 평균 속력을 크게 만들고 싶습니다. 어떻게 해야 할까요?!

더 빨리 달리는 구간의 거리를 늘리면 됩니다. \(s_a\)가 되겠죠. 그 구간의 속력이 평균 속력에 기여하는 부분이 커지는 것이고, 간단히 말하자면 그 구간의 가중치가 커지게 됩니다. 우리가 100 km 떨어진 곳을 향해 운전하다가 순간적으로 속력을 10000 km/h으로 키운다 한들, 고작 1 m만 이 속력으로 주행했다면 매우 작은 기여만 할 뿐이겠죠. 이 구간에 대한 가중치는 \(\frac{1}{100000}\)로 계산이 되겠고요.

 

즉, 평균 속력에 관한 문제는 1. 얼마의 속력으로 2. 얼마를 달렸냐(얼마의 비율을 달렸냐)의 문제로 귀결됩니다.

 

그럼 이상으로 이번 주제의 포스팅을 마치도록 하겠습니다.

감사합니다.

 

PS.

살면서 크게 신경쓰지 않고 그냥 단순한 문제라고만 생각했던 주제였습니다. 하지만 갑자기 이것으로 꼭 포스팅을 하고 싶어지더군요. 그리고 며칠 동안 포스팅을 준비하면서 여운이 남네요. 이 세상이 누구에게나 똑같이 주어진 세상이겠지만, 사람에 따라 바라보고 싶은 부분은 다 다를 것입니다. 그냥 자기가 바라보고 싶은 대로 바라보며 살면 되는 게 세상 같습니다.

감사합니다.